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示例：

微分方程分步解答

可分离方程

了解如何分步解答可分离微分方程：

求解 y' = y^2 x
y'(x) = (x + 2) e^(-y(x)), y(0) = 0
sec(y(t)) y'(t) + sin(t - y(t)) = sin(t + y(t))

一阶精确方程

分步解答精确微分方程：

(3x + 2y)y' + 2x + 3y = 0，其中 y(0) = 2
求解 t + arctan(y(t)) + (t + y(t))/(1 + y(t)^2) y'(t) = 0

使用积分因子将方程转换为精确方程：

2 t exp(2y)y' = 3 t^4 + exp(2y)

Chini 型方程：

分步解答黎卡提方程：

x^2 v'(x) + 2 x v(x) = x^4 v(x)^2 + 4
求解 y' = y^2/x^2 - y/x + 1, y(1) = 0

求解第一类含有常数不变量的阿贝耳方程：

y'(x) = e^(2x) x y(x)^3 - y(x) - x e^(-x), y(0) = 0

求解含有常数不变量的 Chini 方程：

2 x'(t) + t = 4sqrt(x(t))

降阶

降低为一阶方程：

t x''(t) - 2 x'(t) = 10 t^4
y''(x) + y'(x)^2 = 0

垂曲线方程求导的分步解答：

求解 v''(x)^2 = (1+v'(x)^2), v(0) = 1, v'(0) = 0

高阶方程

查阅求解高阶微分方程的步骤：

求解 y''''(x) + 16y(x) = 0
y''' - 2y'' + y' = 2 - 24e^t + 40e^(5t), y(0) = 1, y'(0) = 0, y''(0) = -1
y''' - y'' + y' - y = cosh(x)
y''''''(t) - 4y'''''(t) + 7y''''(t) - 4y'''(t) - 4y''(t) + 8y'(t) - 4y(t) = 0

一阶线性方程组

求解一阶线性微分方程：

y'(t) - 2y(t) = 3 e^(2t)
x y'(x) - 4 y(x) = x^6 exp(x), y(1) = 0

请参阅使用拉普拉斯变换求解常微分方程（ODE）的步骤：

求解 y'(t) - 3y(t) = delta(t - 2)，其中 y(0) = 0

伯努利方程

了解求解伯努利方程的步骤：

y'(x) - y = e^x y^2
x'(t) = x(t)(t x(t)^3 - 1)
求解 y' + 5y = x y^4

一般一阶方程

请参阅求解 Clairaut 方程的步骤：

y(x) = x y'(x) + y'(x)^2

求解达朗贝尔方程：

x(t) = t x'(t)^2 + x'(t)

了解如何求解一阶常微分方程：

求解 y' = 2((y + 2)/(x + y - 1))^2, y(1) = 0
t y(t) (1 + t y(t)^2) y'(t) = 1

欧拉-柯西方程

求解欧拉-柯西方程

求解 x^2 y''(x) - x y'(x) + y(x) = 0
x^2 y'' - y = 0
2t^2*y'' + t*y' - 3*y = t, y(1) = 0, y'(1) = 1

相关示例

  • 微分方程

    • 一阶代换

    通过代换求解一阶齐次方程：

    求解 x y' = y*(log(x) - log(y))

    了解进行常规代换的步骤：

    求解 2 t^3 y'(t) = 1 + sqrt(1 + 4 t^2 y(t))
    y'(x) = (1-x cos(y(x))) cot(y(x))

    二阶常数系数线性方程

    求解恒定系数线性齐次方程：

    x''(t) = -k x(t)
    求解 y''(t) + 5y'(t) + 6y(t) = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0

    了解如何求解非齐次常系数线性方程：

    求解 y''+ y = sin(2x)
    x'' - 2x' - 8x = 3e^(-2t), x(0) = 0, x'(0) = 1

    请参阅使用拉普拉斯变换求解常微分方程的步骤：

    y''(t) + 2 y'(t) + 2 y(t) = cos(t) delta(t - 3 pi), y(0) = 1, y'(0) = -1

    一般二阶方程

    研究求解二阶常微分方程的步骤：

    t y''(t) - t y'(t) + y(t) = 2, y(0) = 2, y'(0) = -4
    y'' - 2 cot(x) y' + (1+2cot(x)^2) y = 0
    y''(x) + tan(x) y'(x) + sec(x)^2 y(x)==0
    x^4*y*y'' + x^4*y'*y' + 3*x^3*y*y' = 1
    求解 y''(t) + sin(y(t)) = 0
    x^2y'' + xy' + (x^2-1/4)y=0
    求解 (1-x) y'' + x y' - y = 0
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